Duvida sobre aluguel caução

Olá. Eu tenho um imovel alugado com 1 mes de caução. O aluguel do imovel sempre é dia 20 de cada mes e o inquilino vai sair da residencia. 

So tem um detalhe: O inquilino nao encontrou outro local para alugar e vai ficar no imovel ate la, o que acontece agora: Ele tem que continuar a pagar o aluguel normal ou pagar agora só pelos dias que ficar?

Bom dia.

A final do prazo, o locatário deve deixar o imóvel. Porém, se ele não o deixar no prazo de 30 dias após o tempo estipulado, e o locador não oferecer resistência, a locação continua, agora com prazo indeterminado. Porém, em alguns casos, o locatário tem o direito a renovação do contrato, se obedecer a alguns requisitos. No meu entendimento se o locatário desocupar o imóvel em período inferior a 30 (trinta) dias, cobra-se apenas os dias em que o imóvel permaneceu ocupado.