Fernanda, se ele solicitar por escrito de próprio punho, no qual mencionei acima, não há necessidade de apresentar a carta da nova empresa.
Mas deixe bem claro a ele que a empresa irá descontar os dias restante do aviso, (se possível faça isso por escrito e colhe assinatura dele).
Agora se ele apresentar a declaração da nova empresa, e bom checar se a declaração e real/verdadeira.
Se a declaração for verdadeira, você precisa verificar a convenção coletiva de trabalho, isso porque em algumas existe clausula mencionando o não desconto dos dias restante do cumprimento do aviso (caso apresente a declaração).
Se a declaração for negativa, é bom convocar o mesmo e explicar , ok..