Não Roberta, o empregado não tem obrigação, nem o empregador, de avisar com antecedência de que não continuará na empresa, por isso o Contrato se chama CONTRATO A PRAZO DETERMINADO À TÍTULO DE EXPERIÊNCIA (seu nome completo), ele não gera qualquer expectativa, é prazo certo, tem fim previsto.
Não é necessário que o trabalhador faça uma carta, uma vez que não mais assinará o ponto nem entrará na empresa, não vai gerar direitos de continuação contratual. Mas é bom, sim, pedir que ele escreva de próprio punho, um comunicado tipo: Por meio desta comunica à empresa "TAL E TAL.." que não mais prestarei meus serviços a partir do fim do contrato de experiência, conforme anotado em minha CTPS(ou : conforme contrato assinado por ambas as partes). Ele assina e data, vc tira uma cópia e entrega a ele com o SEU aceite de recebimento. Pronto.
Espero ter ajudado.