Boa noite!
Diferente do falado pelos colegas acima, discordo!
Um atestado por exemplo de 10 dias, com 5 dias de afastamento o empregado vai ao médico e pega outro atestado de 15 dias, ele não terá ao final 25 dias, e sim apenas 20 dias (5 dias do atestado anterior + 15 do novo atestado).
Explico:
A incapacidade do novo atestado não possui cunho de projetar que a doença daquele exato momento da emissão atestado será iniciada só depois do dia tal, isso não existe.
Assim, o novo atestado, anula os direitos de atestado anterior ainda que não expirados, passando a vigorar imediatamente o novo atestado como substituto, desde sua emissão ( a data de emissão já conta como dia de início), inclusive reduzindo os dias necessários de afastamentos, desde que o atestado posterior tenha reconhecido como necessário de sua incapacidade ao trabalho, se for o caso.