Mudança de nome depois de casada e empresa cobrando a alteração.

Eu casei dia 24 de junho deste ano.
E esses dias o RH de onde eu trabalho pediu pra eu comparecer a sala deles e disseram que eu casei, porém só entreguei a certidão de casamento e não fiz a alteração na identidade. 
Só que fui pega de surpresa pois não tenho o valor lra pagar a taxa pra realizar a alteração na identidade. Estou construindo com meu marido e não tenho o valor por estar com muitas contas a pagar. 
Eles pediram urgência pra realizar a alteração e provavelmente só vou conseguir realizar essa alteração em novembro ou dezembro. 
Eles podem me obrigar a realizar a alteração na identidade ameaçando me demitir?
Eu não realizando a alteração posso ser demitida por justa causa ou até sem justa causa? 

Boa tarde  Emillie de Carvalho Mendes Oliveira,

A empresa esta fazendo a parte dela. 
Acredito que vc deveria ter se informado antes de casar sobre isso, pois é de inteira responsabilidade do funcionário atualizar e manter seus dados corretos. Isso gera problemas apenas par você. 
Ou seja, na Caixa pode ter problemas com o PIS e FGTS, entre outros problemas. 
Sugiro que vc de uma atenção maior a isso agora, acredito que a taxa para gerar o RG não seja assim tão cara. 
E não esqueça dos outros documentos também,  e a atualização na Caixa. 

Lembre-se que vc é a responsável pelos seus dados e registro na empresa. Se estão te cobrando é para tentar evitar problemas futuros.