Bom dia Lilia.
O montante de faturamento não é critério determinante até então.
Uma empresa que se utiliza do regime Lucro Presumido fica obrigada a entregar mensalmente, caso enquadre-se nas hipóteses de obrigatoriedade, a EFD-Contribuições e a DCTF (isto desde janeiro/2014, haja vista que até o final do ano de 2012 estavam também obrigadas à entrega da DACON).
Observe que, é necessário verificar se a empresa enquadra-se nas hipóteses de entrega destas declarações. Caso haja dúvidas quanto à isto, sugiro que leia na íntegra as Instruções Normativas a que se referem tais obrigações.
Respondo seu questionamento levando em consideração apenas as obrigações federais, já que há também obrigações de âmbito municipal e estadual.
Anualmente, a empresa poderá estar obrigada também a entrega da DIPJ (ou DSPJ Inativa se for o caso), DIRF, ECD (fatos geradores ocorridos a partir de 01/01/2014, entrega portanto em junho/2015), DMED e DIMOB.
Basicamente, são estas as principais obrigações acessórias. Algum colega de fórum pode complementar meu apontamento caso eu tenha deixado passar algo.