Boa tarde Janaina
Se existe Protocolo entre SP e RJ é obrigação do remetente calcular e recolher o ICMS/ST. Caso não haja o Protocolo, mas no Estado destinatário a mercadoria se encontra no regime da ST, você tem duas opções:
a) o remetente calcula e recolhe cobrando o ICMS/ST normalmente na nota fiscal
b) o destinatário efetua o recolhimento e envia a Guia para o remetente anexar à nota fiscal, visto que, se não há a guia de recolhimento, a mercadoria pode ficar presa na barreira fiscal até o recolhimento.
Neste caso que você disse que não houve o recolhimento (o remetente também não calculou a ST na nota, certo?), para facilitar o processo, o melhor seria o destinatário recolher. Caso o cliente peça para o fornecedor recolher, precisa ser acordada a forma como o cliente efetuará o pagamento do ICMS/ST para o fornecedor.
Por outro lado, se o remetente calculou a ST na nota (que está embutido no total do documento) e não recolheu a GNRE, melhor recolher com urgência, uma vez que você cobrou do destinatário e não recolheu para o Estado, isso é apropriação indébita.